Diferenças Finitas – Um Exemplo

Métodos computacionais ❤

Durante a faculdade eu sempre me interessei por métodos de discretização computacionais e diferenças finitas foi o primeiro que eu conheci, resultado: fiquei maravilhado. Simular o comportamento de um sistema com geometrias e condições complicadas é realmente libertador. Nesse post vou mostrar um pouco dessa mágica (resolvendo o problema 4.80 do Incropera 7ªed) e o aprofundamento da implementação ficará para outro post.

O problema 4.80

Um canal retangular muito longo (de modo que o problema pode ser analisado de maneira bidimensional) preenchido por um substrato que circunda um chip, que dissipa calor.

Sistema
Sistema e condições de contorno.

Características interessantes:

  • 2 Materiais diferentes ( logo, condutividades diferentes)
  • Geração interna em apenas um dos corpos
  • Condições de contorno de convecção presentes em ambos materiais
  • O sistema está em regime permanente, logo as condições iniciais são irrelevantes, apenas as condições de contorno.

Esse tipo de problema não possui solução analítica (mas não desanime!) e o objetivo da questão é definir se, em algum ponto do chip, ocorre uma temperatura maior que 85ºC (limite superior de temperatura de operação muito comum em eletrônicos em geral).

Solução rápida e preguiçosa

Uma coisa interessante é que, considerando que objetivo é simplesmente responder a pergunta acima, basta fazer um balanço de energia ‘pessimista’: considerar que as dimensões do canal são exatamente iguais a do chip e não há substrato, como na figura abaixo.

simples
Simplificação

Isso torna o problema bastante simples e faz com que o resultado obtido seja bastante conservador (será encontrada uma temperatura muito maior que a que de fato ocorre, com a presença do substrato para escoar e armazenar essa energia térmica).

Solução completa

Mas vamos ao que interessa : aplicação do método de discretização neste problema. Para isso, basta criar uma malha adequada e gerar as equações de balanço de energia ao redor de cada nó. Como trata-se de uma análise térmica, cada nó possui apenas um grau de liberdade: a temperatura. Além disso, o problema é simétrico e com isso basta analisar uma de suas metades.

malha
Malha de diferenças finitas com espaçamento homogêneo de 1.5 mm. Número de Nós: 180 (90 com o uso da simetria)

O que ocorre é que essas equações são EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias), derivadas da Equação da Difusão de Calor (também uma EDO), e não podem ser resolvidas por um computador, senão numericamente.

Desta forma, o método das diferenças finitas surge para aproximar os termos que envolvem derivadas para simples diferenças, que aproximam a derivada em torno de cada nó. Dessa forma, equações diferenciais são transformadas (aproximadas) em equações algébricas que, em conjunto com todos os nós, geram um sistema de equações lineares, que pode ser resolvido para o obter a temperatura em cada nó.

result
Resultados. Como se pode ver, a temperatura máxima é em torno de 47ºC e ocorre próximo ao limite inferior do chip.

Outra coisa bastante interessante é que esses sistemas são resolvidos por métodos numéricos (Gauss-Seidel, Eliminação de Gauss, Jacobi etc) que, em sua maioria, derivam, caminham para a solução a partir de um palpite inicial (um chute), através de cada iteração do método. Só que analisando o vídeo abaixo é muito difícil dizer se as temperaturas estão mudando devido ao tempo que passa ou a convergência da solução durante as iterações do método numérico.

convergencia_numerica
Convergência numérica. Cada frame é uma iteração de Gauss-Seidel. Foram necessárias 2700 iterações

Ou seja: simplesmente olhando, é impossível dizer se a animação mostra um aquecimento/resfriamento (um comportamento dependente do tempo) ou a simples representação (simulação) de uma solução numérica.

Ou, o que seria mais perturbador: é impossível distinguir a realidade e simulação.

matrix
Neo enxergando finalmente a representação simulada de um mundo que talvez sequer tenha existido

E então nerds ?

westworld
– Você é real? – Bom, se você não percebe a diferença, isso importa?

Referências

  • Frank P. Incropera, David P. Dewitt. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 7ªed.
  • Fortuna. Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos. 2ºed
  • WestWorld, Série de ficção-científica da HBO de 2016
  • Matrix, filme de ficção-científica de 1999

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